拿破仑波拿巴是19世纪法国伟大的军事家、政治家，法兰西第一帝国皇帝。拿破仑也是一个天才的数学爱好者。在军校的时候，他获得过数学奖，被数学老师视为得意门生。他发现并证明了以下定理： 　　

　　

　　

拿破仑定理

　　

　　

　　如果用任意三角形的每条边作等边三角形，它们的中心就构成等边三角形。这个等边三角形叫做拿破仑三角形。如果向内做一个三角形，结论也成立。 　　

　　

　　 　　

　　

　　放手爸妈(头条@放手爸妈)用复数与三分之比的性质给了上述定理一个非常漂亮的证明。证明简洁美观，有兴趣的读者可以了解一下。 　　

　　

　　现在，让我们重新思考一下拿破仑定理。初等几何中最常见的两种几何图形是三角形和矩形。在拿破仑定理中，根据三角形的每条边，同时向内或向外做一个正三角形。如果向外或向内做一个正方形呢？ 　　

　　

　　如下图所示，取任意一个三角形ABC，做一个三边朝外的正方形。取三个正方形的中心，将它们连接成一个新的三角形。用几何画板画图如下： 　　

　　

　　 　　

　　

　　但是，没有正三角形，连等腰三角形都没有。这条路好像被堵住了。 　　

　　

　　慢慢来。让我们仔细看看上面的图表。好像BG连起来的话，好像BG和EF是垂直的，长度差不多。从三边无限制的一般性来说，如果BG和EF垂直相等，那么CE和FG垂直相等，AF和EG垂直相等。从图片上看，好像是真的！不妨试一试。 　　

　　

　　这里以BG和EF的关系为例：隐藏不相关的线段，连接BG。移动三角形的每个顶点，观察EF和BG的长度和斜率的变化，如下所示： 　　

　　

　　 　　

　　

　　在变化过程中，EF和BG始终相等且其斜率乘积为-1，即相互垂直。 　　

　　

　　现在几乎可以确定结论是正确的，但几何画板不是证明。还需要严格的数学证明。同样，这里用复数的性质来证明。两条线段垂直相等，实际上是旋转了90。等效线段对应的复数z1和z2满足Z1=I * Z2 (I为虚数单位，I 2=-1)。 　　

　　

　　建立一个复合平面。A，B，C，E，F，G的每一点都代表一个复数。这六点怎么处理？问题是，任何三角形首先有ABC，然后有三个点EFG，所以这个想法是建立三个点EFG和ABC之间的关系。 　　

　　

　　很容易知道，三角形AEB是等腰直角三角形，AE=BE，且互相垂直，对应复数关系，即： 　　

　　

　　 　　

　　

　　同样，也有 　　

　　

　　 　　

　　

　　因此 　　

　　

　　 　　

　　

　　所以|EF|=|BG|，两者确实是垂直且相等.同理，CE和FG是垂直相等的，AF和EG是垂直相等的。 　　

　　

　　证明一下！ 　　

　　

　　现在，让我们再考虑一下。拿破仑定理就是用一个任意的三角形，然后做一个正三角形。上面的概括把正三角形变成正方形，然后用任意三角形做正方形。我们也获得了相当好的性能。但是，似乎有些不和谐。 　　

　　

　　任意三角形可以变成任意四边形吗？用四边形的四条边做四个正方形。这是一种与拿破仑定理更对称的广义形式吗？不妨试一试。 　　

　　

　　几何画板是这样画的：做任意四边形ABCD，每条边向外为正方形，中心为EFGH。 　　

　　

　　 　　

　　

　　有了前面的铺垫，一眼就能看出GE和FH是垂直对等的。 　　

　　

　　同样，利用复数，有如下证明： 　　

　　

　　 　　

　　

　　

奥贝尔定理（van Aubel's theorem）

　　

　　

　　因此，我们得到奥贝尔定理：,的任意四边形(凸的或凹的)，并在每条边的外侧构造一个正方形。通过连接相对正方形的中心，得到两条长度相等且相互垂直的线段。三角形可以看作是四边形的一个特例——有0条边的四边形。此时，两个顶点和对应正方形的中心收缩到同一点，奥伯特定理仍然成立。 　　

　　

　　复数作为几何证明的一种方法，其实就是解析几何中的向量分析。但复数天然地既可视为数，又可视为旋转拉伸变换，具有良好的运算性质和清晰的几何意义，所以许多平面几何的问题，运用复数都可以做出比较简洁的解答。