思考题详解之人教版 《数学》 三年级下册：一共有多少个长方形
2019年1月31日星期四
题目是人教版《数学》三年级“数学广角-搭配”一章练习22的第五题，如下图：
人教三个数，第二册，第104页
整理如下：
"
下图中有几个长方形？
图1
"
如果这个问题是“正题”的话，答案很简单，不值一提。我只是想到了它的一般扩展，比如：
图2
上图中有几个长方形？
为了避免陷入不必要的特例之争，我们声明“矩形”包括“正方形”，也就是说在一些巧合的地方出现了正方形，也算作矩形。
显然，此时应该停止“计数法”。如果我们将以上图形命名为“列行”，则可以简洁地分别表示为“22”和“46”图形。第一个数字表示每列有M个单元格，第二个数字表示每行有N个单元格，即“M行N列”。对于一般的“mn”图，你可以想到：m和n的值的任意性，当m和n取较大的非零整数时，我们更需要的是“计算方法”。
（一）基础题型
1.下图中有多少条线段？
2.下图中有几个角？
3.下图中有多少个长方形(包括正方形)？
这些问题在小学数学中很常见，当然具体表现也不仅限于这些。它们的原理是一样的，计算方法是：
1+2+3+4=10
大致概括一下，分为几个小段(案、口开)，从1到几。
如果分成100段，100个小口或100个小隔间，则有：
1+2+3+4+5+6+……+99+100=(1+100)1002=5050
没错，这就是高斯小时候发明的算法。其通式如下：
以及要使用的以下内容：
以及更多一般信息：
这些内容可以参考之前写的图文《数学活动“探索图形”的解答和引申》。
（二）探究规律
总图“mn”由上图1“22”和图2“46”展开。它的列可以看作是“一条线段剪成m段”，它的行可以看作是“一条线段剪成n段”。从任意一列中取一条线段作为左右边，从一行中取一条线段作为顶边和底边，得到任意矩形。如图所示：
总共可以取出列：
1+2+3+4+……+m=(1+m)m2
好吧，你可以一起拿。
出：1＋2＋3＋4＋……＋n＝（1＋n）×n÷2
m行n列的图一共有：
个长方形。
（重要程度★★★★★）
于是，图1一共有长方形：
2×2×（2＋1）×（2＋1）÷4＝9（个）
图2一共有长方形：
4×6×（4＋1）×（6＋1）÷4＝210（个）
（三）变式练习
这个变式可以概括为“格子图中数正方形”。格子图的特点是每小格都是一样大小的正方形，而且现在只数正方形，不数长方形。
上面4×4的格子图中一共有多少个正方形？
这是一个极有趣的数列：
1×1＋2×2＋3×3＋4×4＝4×（4＋1）×（2×4＋1）÷6＝30（个）
计算方法应用的就是上面的“公式2”。
道理是：
1×1表示：
2×2表示：
3×3表示：
4×4最简单，用一个图，不同颜色表示每一个格子：
想必，只此一例，您便对于“n×n”的格子图中所有正方形的数量了然于胸了，这个结论就是公式2：
或许，您更期望解决一般的“m×n”格子图中有多少个正方形？
设：
k＝min｛m，n｝，即取m、n中较小的一个值；
a＝|m－n|，其实就是m、n的差，取正值，因为我们不清楚m＜n或m＞n（m＝n的特殊情况上面已经讨论）。实际讨论中，可以只取一种情况，因为将m＜n的格子图转置一下，就可以由m行n列变为n行m列，二者实质上是同一种情况。
这时，您会得到一个有趣的数列：
1×（1＋a）＋2×（2＋a）＋3×（3＋a）＋……＋k×（k＋a）
＝（1×1＋2×2＋3×3＋……＋k×k）＋a×（1＋2＋3＋……＋k）
＝k（k＋1）（2k＋1）÷6＋a×k（k＋1）÷2
＝k（k＋1）（2k＋3a＋1）÷6
（重要程度★★★★★）
或许，您需要拿起纸笔好好验算一下了。
以“4×7”的格子图中一共有多少个正方形为例。
其中：
①1×1的正方形：
有：4×7＝4×（4＋3）＝28（个）
②2×2的正方形（田字格）：
有：3×6＝3×（3＋3）＝18（个）
③3×3的正方形：
有：2×5＝2×（2＋3）＝10（个）
④4×4的正方形：
有：1×4＝1×（1＋3）＝4（个）
一共有：28＋18＋10＋4＝60（个）
用公式验证一下：
k＝min｛m，n｝＝min｛4，7｝＝4
a＝|m－n|＝|4－7|＝3
k（k＋1）（2k＋3a＋1）÷6＝4×（4＋1）×（2×4＋3×3＋1）÷6＝4×5×18÷6＝60（个）
结果一致。
是不是够折腾，哈哈。
再会。
